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LES RELATIONS D’INCERTITUDE EN PHYSIQUE GENERALE COMME CONSEQUENCE DES TRANSFORMATIONS DE LORENTZ
(LE PRINCIPE D'INCERTITUDE DE HEISENBERG QUI S'ÉTEND AUX OBJETS MACROSCOPIQUES)
https://doi.org/10.1142/9789814504782_0009
Où l’on considère un objet macroscopique constitué d’une tige munie d’une paire d’horloges synchronisées. Dans le cas d’un mouvement linéaire de la tige (le long de l’axe \(X\)) les transformations de Lorentz fournissent directement des relations de physique générale : la relation d’incertitude de la coordonnée \(X\) de l’objet et de la projection \(p_x\) de son impulsion sur l’axe \(X\), et la relation d’incertitude du moment \(t\) de l’observation de l’objet et de son énergie \(E\). Ces relations ont la forme : \(\Delta p_x \Delta x ≥ H\) et \(\Delta E \Delta t ≥ H\). La grandeur \(H\) de la relation a une dimension d‘action et dépend de la précision des horloges de la tige et de la masse de celle-ci.
Où l’on montre que, si l’objet macroscopique remplit par lui-même la fonction d’horloge physique idéale, les relations obtenues pour le cas limite prennent la forme \(\Delta p_x \Delta x ≥ h\) et \(\Delta E \Delta t ≥ h\), \(h\) étant la constante de Planck.
Le présent travail a pour objectif de montrer l’existence de relations d’incertitude de physique générale applicables aux macrocorps. Cet objectif a été atteint au cours de la résolution du problème de la détermination de la vitesse et des grandeurs des objets liées à cette vitesse d’après le degré de désynchronisation d’horloges en mouvement.
Les transformations de Lorentz fournissent directement les relations \(\Delta p_x\Delta x ≥ H\) et \(\Delta E \Delta t ≥ H \). La première relie l’incertitude \(\Delta p_x\) de la projection \(p_x\) de l’impulsion de l’objet considéré à l’incertitude \(\Delta x\) de la coordonnée \(x\), tandis que la seconde relie l’incertitude \(\Delta E\) de l’énergie \(E\) de l’objet à l’incertitude \(\Delta t\) du moment \(t\) de l’observation. La grandeur \(H\), dans ces relations, a une dimension d‘action et dépend de la précision des horloges de la tige et de la masse de celle-ci.
Étant donné que les recommandations en cours d’élaboration par les métrologistes et visant à substituer au terme d’« erreur » celui d’« incertitude » n’ont pas de caractère contraignant et qu’elles sont objet de discussions [1-2], nous utilisons l’un et l’autre termes dans le présent travail.
Nous entendons par erreur l’imprécision des résultats d’une mesure due à des causes purement métrologiques. On peut réduire l’erreur en augmentant la précision des appareils. Un exemple d’erreur est fourni par l’erreur absolue sur la distance entre deux points.
Nous appelons incertitude des valeurs physiques l’imprécision des résultats d’une mesure qu’il est impossible d’éliminer en augmentant la précision des appareils de mesure et qui peut provenir de causes terminologiques, conceptuelles ou linguistiques. Un exemple de ce type d’incertitude est fourni par l’incertitude de la distance entre deux boules proches l’une de l’autre. Cette distance comporte un degré d’imprécision égal à la taille des boules, même avec une précision absolue de la mesure, tant que l’on n’a pas défini ce qu’on entendait par distance à mesurer : la distance entre les centres de masse des boules, entre leurs centres géométriques, entre les points des deux boules qui se font face, ou d’autres encore. L’incertitude comprise en ce sens est évoquée dans les publications, au moins en termes généraux. Ainsi, par exemple, compte tenu du fait qu’on ne peut indiquer l’emplacement d’un corps étendu dans l’espace par la position d’un seul de ses points qu’avec une certaine dose d’incertitude, on peut lire en [3] que l’incertitude de la position d’une boule définie par la position de son centre est égale au rayon de cette boule.
Un autre exemple de ce type d’incertitude peut être trouvé dans l’incertitude du moment d’un processus bref mais non instantané, qui a une durée très brève mais finie. On peut estimer, en considérant que le moment de son déroulement est le moment du milieu du processus, que cette incertitude est égale à la moitié de la durée du processus. Ce sont ces incertitudes \(\Delta x\) et \(\Delta t\) de la coordonnée et du moment qui figurent dans les relations d’incertitude que nous avons obtenues.
Supposons que les horloges \(A\) et \(B\), tout comme les horloges appartenant au système de référence \(K^0\) dans laquelle la tige est au repos, indiquent l’heure de ce système, autrement dit que les heures des horloges \(A\) et \(B\) coïncident toujours avec celles des horloges du système \(K^0\). La longueur d de la partie ab située entre les points \(a\) et \(b\), peut être égale ou inférieure à la longueur de la tige \(L\), c’est-à-dire que, dans le cas général, la condition \(L ≥ d\) est vraie. Si \(L > d\), la tige a approximativement l’aspect suivant :
----------A--------------------B-----------
Les repères \(A\) et \(B\) désignent ici schématiquement l’horloge \(A\) et l’horloge \(B\), tandis que la ligne pointillée figure le corps de la tige.
Si la distance \(d\) est égale à la longueur \(L\) de la tige, c’est-à-dire si \(L = d\), les horloges \(A\) et \(B\) se trouvent aux extrémités de la tige.
Nous donnerons à la structure constituée de la tige en question et des horloges en marche \(A\) et \(B\) placées sur elle le nom de tige \(R\), autrement dit nous considérerons les horloges \(A\) et \(B\) comme étant partie intégrante de la tige \(R\), et les heures indiquées par les horloges \(A\) et \(B\) comme des caractéristiques de la tige \(R\).
Admettons que la tige \(R\), disposée parallèlement à l’axe \(X^0\) du système inertiel \(K^0\), est au repos par rapport à ce système et se meut avec une vitesse constante \(V'\) le long de l’axe \(X'\) d’un autre système de référence \(K'\) tout en demeurant parallèle à l’axe \(X'\) et au sens de son mouvement (les axes \(X^0\) et \(X'\) des systèmes \(K^0\) et \(K'\) glissant l’un sur l’autre lors de leur déplacement relatif). Nous qualifierons de longitudinal (par rapport à son orientation dans l’espace) un tel mouvement de la tige et dans la suite il ne sera plus question que de lui.
Conformément aux transformations inverses de Lorentz au moment \(t'\) du système \(K'\), les heures \(\tau_{A,t'}\) et \(\tau_{B,t'}\) indiquées par les horloges \(A\) et \(B\) et qui coïncident avec celles des horloges du système \(K^0\), sont données respectivement par les relations
$${\tau{}}_{A,t'}=\frac{t'+\frac{V'}{c^2}x{'}_{A,t'}}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}\quad\text{et}\quad{\tau{}}_{B,t'}=\frac{t'+\frac{V'}{c^2}x{'}_{B,t'}}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}$$ où \(x'_{A,t'}\) et \(x'_{B, t'}\) sont les coordonnées des horloges \(A\) et \(B\) de la tige \(R\) dans le système \(K'\) au moment \(t'\), tandis que \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide.
La différence entre les indications des horloges \(A\) et \(B\) de la tige \(R\) au moment \(t'\) du système \(K'\), comme il découle des relations ci-dessus, est égale à $$ \tau_{B,t'}-\tau_{A,t'}=\frac{(x'_{B,t'}-x'_{A,t'})V'}{c^2\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}\quad\text{(1)}.$$ Introduisons pour simplifier l’expression $$U'=\frac{V'}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}},\quad\text{(2)}$$
Nous tirons de la formule (1), en y introduisant l’expression (2) : $$U'=\frac{c^2(\tau_{B,t'}-\tau_{A,t'})}{x'_{B,t'}-x'_{A.t'}}.\quad\text{(3)} $$
Ainsi, disposant d’informations sur les coordonnées et les heures des horloges \(A\) et \(B\) au moment \(t'\), nous pouvons tirer de la formule (3) la grandeur \(U'\), puis en déduire la vitesse \(V'\) de la tige \(R\) dans le système \(K'\). Nous qualifierons de données à moment unique les données qui caractérisent les éléments de l’objet qui sont séparés dans l’espace mais se rapportent à un même moment \(t'\).
Outre la possibilité de déterminer la vitesse de la tige d’après les données à moment unique, existe également la possibilité de déterminer la vitesse \(V'\) de la tige \(R\) dans le système \(K'\) d’après les données à coordonnée unique. Nous qualifions de données à coordonnée unique celles qui sont relevées à différents moments en un seul et même point (avec une seule et même coordonnée) et qui caractérisent les éléments d’un objet étendu dans l’espace aux moments où ils se trouvent en ce point ou proche de lui. Parmi ces données on trouve, par exemple, les heures \(\tau_{A,x'}\) et \(\tau_{B,x'}\) des horloges \(A\) et \(B\) de la tige, relevées successivement aux moments \(t'_{A,x'}\) et \(t'_{B,x'}\) au point du système \(K'\) qui a la coordonnée \(x'\), devant laquelle il passe dans le dit système de référence.
Les indications à coordonnée unique \(\tau_{A,x'}\) et \(\tau_{B,x'}\) des horloges \(A\) et \(B\), selon les transformations inverses de Lorentz, sont liées aux moments \(t'_{A,x'}\) et \(t'_{B,x'}\), au cours desquels les horloges \(A\) et \(B\) se trouvent au point ayant la coordonnée \(x'\), par les relations $$\tau_{A,x'}=\frac{t'_{A,x'}+\frac{V'}{c^2}x'}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}} \quad\text{et}\quad \tau_{B,x'}=\frac{t'_{B,x'}+\frac{V'}{c^2}x'}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}. $$
La différence entre les heures des horloges \(A\) et \(B\) de la tige \(R\) au point de coordonnée \(x'\) du système \(K'\), comme il ressort des relations ci-dessus, est égale à $$ \tau_{B,x'}-\tau_{A,x'}=\frac{t'_{B,x'}-t'_{A,x'}}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}} \quad\text{(4)}$$
En introduisant l’expression \(\Gamma'=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}}\), nous tirons de (4) $$ \Gamma'=\frac{\tau_{B,x'}-\tau_{A,x'}}{t'_{B,x'}-t'_{A,x'}},\quad\text{(5)}$$
ce qui nous permet éventuellement d’obtenir la vitesse \(V'\) de la tige \(R\).
La détermination de la vitesse d’après les données à coordonnée unique a l’avantage de ne pas nécessiter de mesure des distances et de se fonder sur la mesure des intervalles de temps \(\tau_{B,x'}\) – \(\tau_{A,x'}\) et \(t'_{B,x'} – t'_{A,x'}\).
L’existence d’une erreur absolue \(\Delta \tau\) sur les heures de chacune des horloges \(A\) et \(B\) signifie qu’à tout moment \(t^0\) dans le système \(K^0\) l’heure indiquée par chacune des horloges de la tige \(R\) peut différer de celles des horloges du système \(K^0\) marchant avec une précision idéale, l’écart n’étant pas supérieur à \(\Delta \tau\). Il convient donc, pour apprécier les remarques ci-dessus sur la coïncidence des heures des horloges du système \(K^0\) avec celles des horloges \(A\) et \(B\), de tenir compte de l’exactitude finie de ces dernières.
Si la marche des horloges du système \(K'\), mesurée par la grandeur \(x'_{B, t'} – x'_{A,t'}\) , et la valeur de la vitesse de la lumière \(c\) ont la plus grande précision imaginable, l’erreur sur la grandeur \(U'\), calculée d’après la formule (3), n’est conditionnée que par l’existence de l’erreur absolue \(\Delta (\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'})\) sur la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) entre les heures des horloges \(A\) et \(B\).
En ce cas, l’erreur \(\Delta U'\), compte tenu de la formule (3), s’exprime par l’égalité $$\Delta\ U'=\frac{c^2\Delta(\tau_{B,t'}-\tau_{A,t'})}{x'_{B,t'}-x'_{A,t'}}\quad\text{(6)}$$
Dans les cas où l’erreur absolue maximum sur la différence entre les heures des horloges \(A\) et \(B\) combine les erreurs \(\Delta \tau\) de chacune de ces horloges, où, autrement dit, \(\Delta(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}) = 2\Delta \tau\), il découle de (6) que : $$ (x'_{B,t'}-x'_{A,t'})\Delta\ U'=2c^2\Delta\tau\quad\text{(7)}$$
Notons que l’erreur \(\Delta \tau\) ne dépend pas du choix du système de référence, puisqu’elle représente la plus grande différence possible entre les heures de chacune des horloges \(A\) et \(B\) et celles des horloges voisines situées dans le système \(K^0\), dans lequel la tige \(R\) est au repos. Il est clair que cette différence ne dépend pas du système de référence dans lequel elle est relevée.
Imaginons maintenant que, en plus de la condition d’unicité de moment des indications des horloges \(A\) et \(B\) dans le système \(K'\), soit réalisée l’exigence d’unicité de coordonnée de la localisation de la tige \(R\) au moment \(t'\). Supposons que cette exigence se traduise par l’utilisation d’une seule et même coordonnée \(x'_R\) pour désigner l’emplacement sur l’axe \(X'\) de la projection de la tige \(R\). Cette exigence peut être satisfaite si l’on néglige la longueur de la tige et que l’on assimile celle-ci à un point. Mais s’il est impossible de négliger la longueur de la tige en raison de la nécessité de tenir compte de son étendue dans l’espace, on ne peut satisfaire que partiellement l’exigence d’unicité de coordonnée de la position de la tige \(R\). On peut indiquer, par exemple, en qualité de coordonnée \(x'_R\) de la tige \(R\) la coordonnée de n’importe quel point appartenant à cette tige tout en signalant son incertitude. On peut prendre, en particulier, comme coordonnée d’un tel point la coordonnée du centre géométrique de la tige \(R\) ou celle de son centre de masse. On peut dans ce cas considérer comme incertitude \(\Delta x'_R\) de la coordonnée \(x'_R\) la distance du point de coordonnée \(x'_R\) au point le plus éloigné de lui sur la projection de la tige sur l’axe \(X'\).
Avec cette façon de désigner la position de la tige \(R\), la coordonnée \(x'_R\) indique l’emplacement d’un des points de l’ensemble des points de la projection de la tige \(R\) situés sur l’axe \(X'\). Si pour des raisons quelconques nous avons préféré tel ou tel point, l’incertitude \(\Delta x'_R\) détermine le domaine des coordonnées des points qui, pour d’autres raisons, auraient pu être considérés comme les coordonnées ponctuelles de la tige \(R\).
Si par exemple en qualité de coordonnée de la partie \(ab\) de la tige \(R\) parallèle à l’axe \(X'\) on choisit la coordonnée \(x'_{ab}\) du centre géométrique (du point médian) de cette partie, on pourra par définition considérer comme incertitude \(Δx'_{ab}\) de la coordonnée \(x'_{ab}\) de la partie \(ab\) de la tige une grandeur égale à la moitié de la longueur de la partie de la tige en mouvement (dans le système \(K'\)).
Étant donné que dans le système \(K'\) la longueur \(d'=d\sqrt{1-(\frac{V'}{c})^2}\) de la partie en mouvement \(ab\) de la tige est égale à \(x'_{B,t'} – x'_{A,t'}\) , l’incertitude \(\Delta x'_{ab}\) de la coordonnée \(x'_{ab}\) de la partie \(ab\) de la tige \(R\) est égale à \(½(x'_{B,t'} – x'_{A,t'})\). La formule (7) prend dès lors l’aspect $$\Delta U'\Delta x'_{ab}=c^2\Delta\tau\quad\text{(8)}$$
Dans le cadre de la définition de l’incertitude que nous avons donnée dans l’introduction, la grandeur \(\Delta x'_{ab}\) est précisément une incertitude et non une erreur, puisqu’elle dépend de la longueur de la partie \(ab\) de la tige et ne peut être réduite par une amélioration de la précision de la mesure.
Puisque dans le cas général on a \(L ≥ d\), l’incertitude \(\Delta x'\) de la coordonnée \(x'\) de la tige \(R\) sur laquelle les horloges \(A\) et \(B\) sont placées de façon quelconque \((\Delta x' = ½L')\) peut être aussi bien égale que supérieure à la grandeur \(\Delta x'_{ab}\). Et comme la relation \(\Delta x' ≥ \Delta x'_{ab}\) est juste, la formule (8) dans le cas général d’un emplacement quelconque des horloges sur la tige prend l’aspect: $$\Delta\ U'\Delta\ x'\geq\ c^2\Delta\tau \quad\text{(9)}$$
La relation (9) se rapporte au cas général d’une position quelconque des horloges sur la tige et se transforme en égalité \(\Delta U' \Delta x' = c^2\Delta\tau\) dans le cas particulier – le plus répandu (pour la détermination de la grandeur \(U'\) à partir des données à moment unique) – où les horloges se situent aux extrémités de la tige \((\Delta x'= \Delta x'_{ab})\).
Le produit de l’erreur \(\Delta U'\) de la grandeur \(U'\) et de l’incertitude \(\Delta x'\) de la coordonnée \(x'\) de la tige \(R\) dans le cas d’une observation instantanée ne dépend que de l’erreur sur les heures marquées par les horloges \(A\) et \(B\) de la tige \(R\). C’est pourquoi la relation (9) demeure invariable indépendamment du système inertiel de référence et peut être écrite pour un système arbitraire sous la forme : $$ \Delta\ U_x\Delta\ x\geq\ c^2\Delta\tau\quad\text{(10)}$$
Dans le cas où la masse de la tige \(R\) portant les horloges \(A\) et \(B\) est parfaitement connue et égale à \(M_R\) (ici et dans la suite on utilise la notion de masse lorentz-variante [4]), la relation (10), quand on en multiplie la partie droite et la partie gauche par \(M_R\), peut être transformée en la relation \(M_R\Delta U_x\Delta x ≥ M_R c^2\Delta\tau\), d’où, avec \(M_R U_x = p_x\), on tire : $$ \Delta\ p_x\Delta\ x\geq\ M_Rc^2\Delta\tau.\quad\text{(11)}$$
En introduisant l’expression $$ H=M_Rc^2\Delta\tau, \quad\text{(12)}$$
nous obtenons à partir de (11) $$\Delta\ p_x\Delta\ x\geq\ H. \quad\text{(13)}$$
L’erreur \(\Delta \tau\) des horloges \(A\) et \(B\) de la tige \(R\) est l’un des paramètres internes de la tige \(R\) et ne fait pas partie des paramètres des dispositifs de mesure extérieurs à la tige \(R\). C’est pourquoi on peut qualifier sous certaines conditions les erreurs \(\Delta U_x\) et \(\Delta p_x\) dans les relations (10) et (13) d’incertitudes extérieures (par rapport à la tige \(R\)). Les incertitudes extérieures \(\Delta U_x\) et \(\Delta p_x\) sont données par les propriétés internes de la tige \(R\) (en particulier des horloges \(A\) et \(B\) qui lui sont intégrées) et, pour une incertitude donnée \(\Delta x\), sont impossibles à éliminer par une amélioration de la précision des appareils de mesure situés en dehors de la tige \(R\).
ou, en tenant compte que \(\Delta(\tau_{B,x'} – \tau_{A,x'}) = 2\Delta\tau\), $$ \Delta\Gamma'=\frac{2\Delta\tau}{t'_{B,x'}-t'_{A,x'}}, $$
d’où il résulte : $$ \Delta\Gamma'(t'_{B,x'}-t'_{A,x'})=2\Delta\tau.\quad\text{(14)}$$
Supposons maintenant qu’outre la condition d’unicité de coordonnée des indications des horloges d’observation, il ait fallu satisfaire à l’exigence d’unicité de moment de l’indication du moment de l’observation de la partie \(ab\) de la tige \(R\) en déplacement devant le point \(x'\). Cette exigence peut consister à utiliser un seul et unique moment \(t'_{ab,x'}\) pour indiquer le moment d’observation de la partie \(ab\) au point \(x'\).
Étant donné que l’observation au point de coordonnée \(x'\) s’effectue durant l’intervalle de temps \(t'_{B,x'} – t'_{A,x'}\), on ne peut indiquer le moment de l’observation qu’approximativement, en se référant, par exemple, à l’instant \(t'_{ab,x'}\) du milieu de l’intervalle \(t'_{B,x'} – t'_{A,x'}\) du temps passé à observer. En même temps il est possible d’exprimer l’incertitude \(\Delta t'_{ab,x'}\) du moment de l’observation, qui est égale à la moitié de la durée \(t'_{B,x'} – t'_{A,x'}\) de l’observation, autrement dit d’admettre que \(\Delta t'_{ab,x'} = ½(t'_{B,x'} – t'_{A,x'})\). La formule (14) peut être alors présentée sous la forme: $$ \Delta\Gamma'\Delta\ t{'_{ab,}}_{x'}=\Delta\tau.\quad\text{(15)}$$
Pour une position quelconque des horloges sur la tige, la durée \(\Delta t'_{x'}\) d’observation de la totalité de la tige \(R\) de longueur \(L\) se trouve être supérieure à la durée \(\Delta t'_{ab,x'}\) d’observation de la portion de tige \(ab\), ce qui veut dire qu’elle satisfait à la condition \(\Delta t'_{x'} ≥ \Delta t'_{ab,x'}\), et que par suite (15) a pour conséquence $$\Delta\Gamma'\Delta\ t'_{x'}\geq\Delta\tau.\quad\text{(16)}$$
Le produit de l’incertitude \(\Delta t'_{x'}\) du moment \(t'_ {x'}\) de l’observation de la tige \(R\) et de l’erreur \(\Delta\Gamma'\) sur la grandeur \(\Gamma'\) lors d’une observation ponctuelle ne dépend que de l’erreur \(\Delta \tau\) des heures des horloges \(A\) et \(B\) de la tige \(R\). Aussi la relation (16) demeure invariable dans tout système inertiel de référence et peut être notée pour un système quelconque sous la forme : $$ \Delta\Gamma\Delta\ t_x\geq\Delta\tau.\quad\text{(17)}$$
En multipliant les parties gauche et droite de la relation (17) par \(M_Rc^2\), en tenant compte du fait que \(\Delta\Gamma M_Rc^2 = \Delta\ E\) et en utilisant l’expression (12), on obtient $$\Delta\ E\Delta\ t_x\geq\ H.\quad\text{(18)}$$
Si l’on considère l’erreur \(\Delta\tau\) comme un paramètre de la tige étranger aux paramètres de l’appareillage de mesure, on peut qualifier les grandeurs \(\Delta\Gamma\) et \(\Delta\ E\) d’incertitudes.
En ce cas, l’erreur maximum sur la différence d’heure des horloges \(A\) et \(B\) est égale non pas à la somme des deux erreurs \(\Delta \tau\), mais à une seule erreur \(\Delta \tau\). Les relations (13) et (18) déduites de la condition d’égalité de l’erreur de différence des horloges \(A\) et \(B\) aux deux erreurs \(\Delta \tau\) prennent la forme : $$ \Delta p_x\Delta x\geq H/2 \quad\text{(19)} $$
et
$$\Delta\ E\Delta\ t_x\geq\ H/2.\quad\text{(20)}$$
Imaginons que chacune des horloges \(A\) et \(B\) est formée de deux parties constitutives dont l’une, artificielle (« manuelle »), remplit la fonction d’afficheur et indique l’heure de façon discontinue, au rythme qui lui est donné par des signaux extérieurs, tandis que l’autre – nous lui donnerons le nom d’horloge physique – produit elle-même naturellement ces signaux et pilote le renouvellement des indications de l’afficheur.
Pour mieux nous faire comprendre, imaginons la seconde partie de l’horloge physique sous la forme d’un morceau de matière radioactive à longue période (on peut considérer que la puissance du rayonnement du matériau demeure constante pendant un temps assez long).
Si l’afficheur réagit par un renouvellement de son affichage à l’absorption d’une quantité déterminée \(ε\) d’énergie du rayonnement gamma de la matière de l’horloge physique, pour une puissance de rayonnement de la matière égale à \(P\), la fréquence \(\nu\) de changement des indications de l’afficheur sera égale à \(P/ε\).
Nous désignerons la portion \(ε\) d’énergie absorbée pour le renouvellement des indications de l’afficheur comme l’énergie des signaux de l’horloge physique perceptibles (par l’afficheur).
Considérons qu’indépendamment de la quantité de matière de l’horloge physique, toute l’énergie rayonnée est absorbée par l’afficheur et que chaque portion \(ε\) d’énergie absorbée joue le rôle de signal perceptible par l’afficheur de changement de l’affichage. La fréquence \(\nu\) des signaux de la matière de l’horloge physique perceptibles par l’afficheur et, corrélativement, la fréquence de renouvellement des indications de l’horloge physique seront donc proportionnelles à la quantité de matière de l’horloge physique. Ce qui signifie que si, pour une masse unitaire de \(m_0\) de la matière de l’horloge physique, la fréquence des signaux perceptibles est égale à \(\nu_0\), pour une masse \(M_0\) elle sera de \(M_0 \nu_0/m_0\), autrement dit $$\nu=M_0\frac{\nu_0}{m_0},\quad\text{(21)}$$
Puisque l’erreur absolue maximum \(\Delta \tau\) sur les heures de chacune des horloges est égale à \(1/\nu\), on peut déduire de l’égalité (21) : $$\Delta\tau=\frac{m_0}{M_0\nu_0}.\quad\text{(22)}$$
Si l’on tient la masse de la tige sans les horloges pour négligeable par rapport à celle de la matière des horloges physiques concentrée dans les horloges \(A\) et \(B\), ou bien, en supposant que la tige \(R\) est entièrement constituée par la matière des horloges physiques, on peut identifier la grandeur \(2M_0\) (la masse de matière des deux horloges étant de \(2M_0\)) à la masse \(M_R\) de la tige \(R\) munie des horloges \(A\) et \(B\). Par suite, on déduit de (12) et (22) que $$ H=\frac{2c^2m_0}{\nu_0}\quad\text{(23)}$$
La grandeur \(H\) dépend du type d’horloge physique et de la sensibilité de l’afficheur, elle n’est donc pas une constante physique. La grandeur \(H\) change en cas de modification de la sensibilité de l’afficheur ou de remplacement de la matière radioactive des horloges physiques par une matière radioactive d’une puissance de rayonnement différente.
Appliquées aux horloges physiques, les relations (19), (20) représentent un cas de répartition quelconque de la matière des horloges physiques le long de la tige et se transforment en égalités dans le cas particulier où la matière des horloges physiques est concentrée aux extrémités de la tige \(R\).
Au premier abord, les relations obtenues ne se vérifient que pour les méthodes instantanées ou ponctuelles d’observation de l’objet, et les incertitudes figurant dans ces relations sont propres seulement à ces méthodes. En fait, il est impossible de mesurer avec une précision illimitée la vitesse, même supposée constante, de la tige \(R\) munie des horloges \(A\) et \(B\) par les moyens classiques (d’après le chemin parcouru et le temps passé), si l’on entend par l’expression de « tige \(R\) munie des horloges \(A\) et \(B\) » un objet concret parmi les caractéristiques duquel figure la différence entre les heures des horloges \(A\) et \(B\) (ou les événements caractérisant le dit objet). Dans de tels cas, la vitesse et les grandeurs qui en dérivent (l’impulsion, l’énergie) sont liées non point à un système extérieur de référence, mais aux éléments caractéristiques du dit objet, par exemple à ses repères temporels ou événementiels [5].
Pour mieux comprendre le sens de cette dernière remarque, nous ferons appel aux notions de relativité et d’incertitude.
Il a été montré en [5] que bien des questions surgies dans le marais du relativisme physique disparaissent si l’on prend conscience de la présence de l’incertitude dans la relativité physique. Au lieu de parler de la relativité de la vitesse d’un corps et de dire que la vitesse d’un corps n’a pas de signification physique en dehors d’un système de référence, il est proposé en [5] d’utiliser le terme de « vitesse indéterminée » pour désigner la vitesse non référencée d’un corps. Il convient dès lors, quand il est question de la vitesse d’un corps non rattachée à un système de référence déterminé, de parler de vitesse indéterminée. L’incertitude de la vitesse non référencée d’un corps est égale à la constante \(c\). On peut dire de la vitesse non référencée de ce corps qu’elle est, par exemple, égale à \(0\), et que son incertitude est égale à \(c\). Une telle notation de la vitesse ne se distingue qualitativement en rien de l’indication classique de la valeur de la vitesse, complétée par l’indication de son erreur.
Examinons les deux manières de se débarrasser de l’incertitude de la vitesse du corps et d’en faire une grandeur déterminée.
La première manière, couramment admise, consiste à indiquer le système de référence dans lequel se situe la vitesse du corps. Une fois le système de référence indiqué, la vitesse devient déterminée.
La seconde manière, malgré son évidence, n’est pratiquement pas mentionnée en physique. Elle consiste à concrétiser l’objet par une description plus détaillée, capable, dans des conditions déterminées, de se substituer au choix d’un système de référence.
Dans l’exemple que nous avons examiné, l’objet auquel s’appliquent les relations (19) (20) n’est pas la tige \(R\) munie des horloges \(A\) et \(B\), mais la tige \(R\) munie des horloges \(A\) et \(B\) et présentant une différence donnée \(\tau_B – \tau_A\) des heures \(\tau_A\) и \(\tau_B\) des horloges \(A\) et \(B\).
Si une seule et même tige \(R\) munie des horloges \(A\) et \(B\) est considérée par définition comme un ensemble de sous-objets plus concrets, dont chacun présente une différence \(\tau_B – \tau_A\) à lui propre entre les indications des horloges \(A\) et \(B\), ces différents objets possèdent des vitesses différentes. La possibilité d’une pareille division d’un objet en sous-objets plus concrets a échappé aux relativistes, car elle met en cause le caractère objectif du relativisme physique. Les relativistes sont incapables de comprendre ce qui était déjà clair pour Héraclite, qui voyait une différence entre un seul et même fleuve et les sous-objets concrets, distincts l’un de l’autre, constituant ce fleuve. Et pourtant les relativistes constatent qu’un seul et même objet, en raison de la relativité de la simultanéité, se distingue de lui-même selon le système de référence choisi, autrement dit qu’il se décompose en des sortes de sous-objets. Il est curieux qu’ils ne comprennent pas le fait qu’après avoir décrit un sous-objet, on peut souvent « d’après son apparence » déterminer sa vitesse indépendamment du système de référence.
Par exemple, dans le cas envisagé, le sous-objet que représente la tige \(R\), où les heures \(\tau_{A,t'}\) et \(\tau_{B,t'}\) des horloges \(A\) et \(B\) diffèrent de \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\), se déplace avec une vitesse linéaire déterminée \(V_x\). Si ces horloges marchent avec une exactitude parfaite, la valeur de la vitesse \(V_x\) dépend fonctionnellement de la valeur de la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\). Un sous-objet qui serait une tige \(R\) où la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) des heures \(\tau_{A,t'}\) et \(\tau_{B,t'}\) des horloges \(A\) et \(B\) est égale à \(0\) est forcément au repos. Sa vitesse longitudinale \(V_x\) est égale à \(0\) et ne peut être différente de \(0\) dans aucun système de référence, puisque dans aucun système de référence dans lequel la tige en question se déplace longitudinalement ne peut exister un sous-objet où la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) des heures indiquées par les horloges \(A\) et \(B\) soit égale à \(0\). La tige donnée \(R\) avec les horloges \(A\) et \(B\) possède des vitesses longitudinales différentes selon le système de référence, mais une tige \(R\), dont la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) des indications des horloges \(A\) et \(B\) est égale à \(0\), ne peut avoir, en tant que sous-objet, qu’une vitesse longitudinale égale à \(0\). Ce fait ne dépend aucunement de la façon dont on mesure la vitesse, que ce soit d’après les indications des horloges ou d’après le chemin parcouru et la distance.
En même temps, si les horloges \(A\) et \(B\) indiquent l’heure de façon discontinue, la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) présente elle aussi une certaine discontinuité. Dans ce cas la valeur de la vitesse longitudinale \(V_x\) présente l’incertitude \(\Delta V_x\). Une tige \(R\) dont les horloges \(A\) et \(B\) indiquent des heures différentes peut alors, en tant que sous-objet, figurer dans un certain ensemble de systèmes de coordonnées à l’état de mouvement, avec des vitesses longitudinales, différant l’une de l’autre d’une grandeur ne dépassant pas une certaine valeur, qui ne sera autre que l’incertitude \(\Delta V_x\). Cette incertitude de la précision est égale à l’incertitude trouvée lors de la détermination à moment unique de la vitesse \(V_x\) du sous-objet considéré.
Si les horloges \(A\) et \(B\) sont arrêtées et indiquent en permanence une même heure, la vitesse longitudinale d’une tige \(R\) dont la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) entre les heures indiquées par les horloges \(A\) et \(B\) est égale à \(0\), a une incertitude \(\Delta V_x\) égale à la vitesse de la lumière \(c\). Une telle tige \(R\) dont la différence \(\tau_{B,t'} – \tau_{A,t'}\) entre les heures indiquées par les horloges \(A\) et \(B\) est égale à \(0\), peut être découverte dans tous les systèmes de référence et avoir une vitesse quelconque comprise entre \(0\) et la vitesse de la lumière \(c\).
La grandeur \(\Delta p_x\) dans la relation (13) est l’erreur sur l’impulsion \(p_x\), qui, pour une incertitude donnée \(\Delta x\) peut, d’une façon générale, être réduite en utilisant des horloges physiques d’un autre type, alors que \(\Delta p_x\), dans la relation de Heisenberg, est une incertitude que, pour une valeur donnée de \(\Delta x\), il est par principe impossible de diminuer.
Un sens différent est attribué également aux grandeurs \(H\) et \(h\).
La grandeur \(H\) dans les relations (13), (18), (19) et (20) dépend de la sensibilité de l’afficheur et du type d’horloge physique. Quand on modifie la sensibilité de l’afficheur ou que l’on remplace la matière de l’horloge physique par une matière radioactive ayant une autre fréquence massique de rayonnement, la grandeur \(H\) change. La constante fondamentale de Planck \(h\) n’est pas, elle, liée aux propriétés physiques d’une matière précise. Il n’en est que d’autant plus surprenant que ces relations se trouvent liées aux relations de Heisenberg, non seulement extérieurement, mais aussi intérieurement.
En premier lieu, se pose la question de la valeur minimum \(H_{min}\) de la grandeur \(H\) à dimension d’action. Peut-on admettre que cette grandeur soit aussi petite qu’on veut dans le macromonde et satisfasse, par exemple, à la condition \(H_{min} << h\) ?
Et en second lieu, les relations (19), (20) se transforment formellement en relations $$\Delta\ p_x\Delta\ x\geq\ h/2 \quad\text{;}\quad \Delta\ E\Delta\ t_x\geq\ h/2\quad\text{(24)}$$ par simple substitution dans la formule (23) de l’énergie \(h_{\nu_0}\) d’un photon de fréquence \(\nu_0\) à l’énergie unitaire \(m_0c^2\) des horloges physiques, autrement dit en prenant pour horloge physique la masse unitaire d’un photon dont la fréquence \(\nu_0\) est numériquement égale à la fréquence \(\nu_0\) des signaux de changement hypothétique de l’heure des horloges. Plus exactement, si on part de la notion de masse invariante de Lorentz et de l’égalité à \(0\) de la masse du photon, on peut considérer comme horloge physique de masse unitaire \(m_0\) une paire de photons de sens opposés et d’énergie égale \(E = h\nu\), générant une impulsion \(P\) égale à \(0\). Étant donné que la masse unitaire \(m_0\) d’une telle horloge est égale à \(\sqrt{(\frac{2E}{c^2})^2-(\frac{P}{c})^2}=2E/c^2 \), et que la fréquence totale \(\nu_0\) des oscillations électromagnétiques est égale à \(2\nu\), si l’on considère que la fréquence \(\nu_0\) d’une horloge physique de masse unitaire est égale à la fréquence totale \(2\nu\) de la paire de photons, on peut déduire de la formule (23) que \(H = H_{min} = h\).
On peut envisager également une autre approche. Si, en examinant (23), on suppose qu’il existe une grandeur \(H_{min}\), commune à tous les types d’horloges physiques, il s’ensuit que \(2m_0c^2/\nu_0 = H_{min}\). Cette dernière égalité ne se vérifie que quand \(m_0c^2 = ½ H_{min}\nu_0\). Si on prend pour \(m_0c^2\) la plus petite énergie d’un signal hypothétique de changement de l’heure de l’horloge, \(H_{min}\) doit dès lors être égale à la constante de Planck \(h\), puisque la grandeur \(½h\nu_0\) est la plus petite énergie possible des oscillations zéro d’un oscillateur de fréquence \(\nu_0\).
Les relations (24), si l’on y aboutit à partir des relations (19) (20), ne reflètent pas le caractère statistique de la génération des signaux de changement des indications des horloges, et c’est pourquoi, avec une telle démarche, on ne peut parler que d’un ordre de grandeur, et non d’une valeur exacte de la grandeur figurant dans la partie droite des relations.
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2. Guide Eurachem CITAC « Quantifier l’incertitude dans les mesures analytiques » (2-е édition, 2000)
3. Soukhanov A.D., Goloubéva O.N. Lektsii po kvantovoï fiziké (Leçons de physique quantique). Moscou, éditions « Vyschaïa Chkola », 2006. p. 54.
4. Okoun L.B.// Revue « Ouspekhi fizitcheskikh naouk ». 2008, №178 . Pp. 541 - 555.
5. Matvéïev V.N. V tretié tysiatchélétié bez fizitcheskoï otnositelnosti? (Aborder le troisième millénaire sans relativité physique ?), Moscou, Tchépo, 2000
Traduit par Robert Giraud
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